$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + . . . . + 31^{2} =$ কত ?

Created: 7 years ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

ক

256
খ

258
গ

254
ঘ

252

2.2k

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + 31^2$। এটি প্রথম 'n' সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল।

প্রথমে, ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে তা নির্ণয় করতে হবে। ধারার শেষ পদটি হলো 31।

বিজোড় সংখ্যার সাধারণ রূপ হলো $2k - 1$।

সুতরাং, $2k - 1 = 31$

$2k = 31 + 1$

$2k = 32$

$k = \frac{32}{2}$

$k = 16$

অতএব, ধারাটিতে মোট 16টি পদ (অর্থাৎ $n = 16$) আছে।

প্রথম 'n' সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র হলো:

$S_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ অথবা $S_n = \frac{n(4n^2-1)}{3}$

এখানে, $n = 16$

$S_{16} = \frac{16(2 \times 16 - 1)(2 \times 16 + 1)}{3}$

$S_{16} = \frac{16(32 - 1)(32 + 1)}{3}$

$S_{16} = \frac{16 \times 31 \times 33}{3}$

আমরা 33 কে 3 দিয়ে ভাগ করতে পারি:

$S_{16} = 16 \times 31 \times 11$

প্রথমে $16 \times 31$ গুণ করে পাই:

$16 \times 31 = 496$

এবার $496$ কে $11$ দিয়ে গুণ করি:

$496 \times 11 = 5456$

সুতরাং, এই ধারার সঠিক যোগফল 5456। কিন্তু, প্রদত্ত অপশনগুলোর (256, 258, 254, 252) মধ্যে 5456 নেই।

যদি প্রশ্নটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর যোগফল (বর্গ ছাড়া) জানতে চাইতো, অর্থাৎ $1 + 3 + 5 + \dots + 31$ এর মান চাইতো, তবে:

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = 1$, শেষ পদ $l = 31$ এবং পদসংখ্যা $n = 16$।

সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$

$S_{16} = \frac{16}{2}(1 + 31)$

$S_{16} = 8 \times 32$

$S_{16} = 256$

এই 256 সংখ্যাটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে বিদ্যমান (অপশন 1)।

উপরে উল্লিখিত গণনা অনুযায়ী, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী যদি প্রশ্নটি $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + 31^2$ এর যোগফল বোঝায়, তবে এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়। তবে, যদি প্রশ্নটি $1 + 3 + 5 + \dots + 31$ এর যোগফল বোঝায়, তাহলে সঠিক উত্তর হবে 256।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 358 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$